Diễn đàn Tuổi trẻ Việt Nam | 2TVN Forum :: Thư viện truyện :: Loại truyện khác :: Truyện hành động
Mình mở ra một topic mới để cùng mọi người trao đôit kinh nghiệm về BĐT. Lần này các bài toán dành cho THCS, 1 phần cũng dành cho các anh chị THPT. Đầu tiên xin nói lại về các BĐT để sử dụng truong topic này .
1. Bất đẳng thức Cô si (AM-GM): Với m số không âm [ltr]a1,a2,...,am[/ltr] ta có:
[ltr]a1+a2+...+am≥ma1a2...am−−−−−−−−−√m[/ltr]. Đẳng thức xảy ra khi [ltr]a1=a2=...=am.[/ltr]
2. Bất đẳng thức Bunhiacopxki (Cauchy - Schwazs): với 2 bộ n số [ltr]a1,a2,...,am[/ltr] và [ltr]b1,b2,...,bm[/ltr] thì :
[ltr](a21+a22+...+a2m)(b21+b22+...+b2m)≥(a1b1+a2b2+...+ambm)2[/ltr]
Đẳng thức xảy ra khi : [ltr]a1b1=a2b2=...=ambm[/ltr]
3. Bất đẳng thức Xvác (Schwars). Với [ltr]a1,a2,...,am[/ltr] bất kì và [ltr]b1,b2,...,bm≥0[/ltr] ta có :
[ltr]a21b1+a22b2+...+a2mbm≥(a1+a2+...+am)2b1+b2+...+bm.[/ltr]Đẳng thức xảy ra khi [ltr]a1b1=a2b2=...=ambm[/ltr]
4.Bất đẳng thức Mincopxki (Mincowski): Với 2 bộ n số [ltr]a1,a2,...,am[/ltr] và [ltr]b1,b2,...,bm[/ltr] thì :
[ltr]a21+b21−−−−−−√+a22+b22−−−−−−√+...+a2m+b2m−−−−−−−√≥(a1+a2+...+am)2+(b1+b2+...+bm)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√[/ltr]
Đẳng thức xảy ra khi :[ltr]a1b1=a2b2=...=ambm[/ltr]
5. Bất đẳng thức Holder: Xin chỉ nêu trường hợp dùng nhiều nhất , ko nêu dạng tổng quát:
Cho [ltr]a,b,c,x,y,z,m,n,p>0[/ltr] thì BĐT sau đúng : [ltr](a3+b3+c3)(x3+y3+z3)(m3+n3+p3)≥(axm+byn+czp)3.[/ltr]
Đẳng thức xảy ra khi : các bộ số tương ứng tỉ lệ với nhau.
6. Bất đẳng thức Schur: Dạng tổng quát:
Cho [ltr]a,b,c≥0[/ltr] và [ltr]t>0[/ltr] ta có : [ltr]at(a−b)(a−c)+bt(b−c)(b−a)+ct(c−a)(c−b)≥0.[/ltr]
Đẳng thức xảy ra khi : [ltr]a=b=c[/ltr] hoặc [ltr]a=0,b=c[/ltr] hoặc các hoán vị.
Các trường hợp thường dùng là TH: [ltr]t=1[/ltr] và [ltr]t=2[/ltr]
[ltr]a(a−b)(a−c)+b(b−c)(b−a)+c(c−a)(c−b)≥0[/ltr] .
Trong trường hợp [ltr]t=1[/ltr] thì ở THCS ta thường có các cách diễn đạt tương đương sau :
[ltr]a3+b3+c3+3abc≥ab(a+b)+bc(b+c)+ac(c+a).[/ltr]
[ltr]4(a+b+c)(ab+bc+ac)≤(a+b+c)3+9abc.[/ltr]
Hệ quả rất thông dụng: [ltr](a+b−c)(b+c−a)(c+a−b)≤abc.[/ltr]
Với [ltr]t=2[/ltr] ta có dạng quen thuộc hơn: [ltr]a4+b4+c4+abc(a+b+c)≥a3(b+c)+b3(a+c)+c3(a+b)[/ltr].
7. Bất đẳng thức Trêbưsep Chebyshev): Với [ltr]a1≥a2≥...≥am[/ltr] và [ltr]b1≥b2≥...≥bm[/ltr] thì:
[ltr]m(a1b1+a2bn+...+ambm)≥(a1+a2+...+am)(b1+b2+...+bm).[/ltr]
Đẳng thức xảy ra khi : [ltr]a1=a2=...=am[/ltr] và [ltr]b1=b2=...=bm.[/ltr]
Nếu [ltr]a1≥a2≥...≥am[/ltr] và [ltr]b1≤b2≤...≤bm[/ltr] thì BĐT trên đổi chiều.
8. Bất đẳng thức Nét bít (Nesbitt): Mình chỉ nêu ra 2TH hay dùng nhất đối với THCS :
BĐT Nesbitt 3 biến : Với [ltr]a,b,c>0[/ltr] thì [ltr]ab+c+bc+a+ca+b≥32.[/ltr]
BĐT Nesbitt 4 biến : với [ltr]a,b,c,d>0[/ltr] thì :[ltr]ab+c+bc+d+cd+a+da+b≥2.[/ltr]
ĐẲng thức xẩy ra khi các biến bằng nhau.
9. Các hằng bất đẳng thức thường dùng:
[ltr]a2+b2+c2≥ab+bc+ac[/ltr] và [ltr](a+b+c)2≥3(ab+bc+ac).[/ltr]
[ltr]1a1+1a2+...+1am≥m2a1+a2+...+am[/ltr] ( với [ltr]ai>0[/ltr])
[ltr]an+bn2≥(a+b2)n[/ltr] (Với [ltr]a+b≥0[/ltr] và [ltr]n∈N∗[/ltr])
[ltr]am+n+bm+n≥am.bn+an.bm.[/ltr]
Còn rất nhiều BĐT nữa nhưng ở mức độ THCS mình chỉ nêu ra như vậy thôi.
P\s: Các anh chị THPT không giải bài của THCS, mà các anh chị sẽ có bài riêng dành cho mình để làm. Mong các bạn hưởng ứng. Cảm ơn.
Hero Math _ Hiếu.
1. Bất đẳng thức Cô si (AM-GM): Với m số không âm [ltr]a1,a2,...,am[/ltr] ta có:
[ltr]a1+a2+...+am≥ma1a2...am−−−−−−−−−√m[/ltr]. Đẳng thức xảy ra khi [ltr]a1=a2=...=am.[/ltr]
2. Bất đẳng thức Bunhiacopxki (Cauchy - Schwazs): với 2 bộ n số [ltr]a1,a2,...,am[/ltr] và [ltr]b1,b2,...,bm[/ltr] thì :
[ltr](a21+a22+...+a2m)(b21+b22+...+b2m)≥(a1b1+a2b2+...+ambm)2[/ltr]
Đẳng thức xảy ra khi : [ltr]a1b1=a2b2=...=ambm[/ltr]
3. Bất đẳng thức Xvác (Schwars). Với [ltr]a1,a2,...,am[/ltr] bất kì và [ltr]b1,b2,...,bm≥0[/ltr] ta có :
[ltr]a21b1+a22b2+...+a2mbm≥(a1+a2+...+am)2b1+b2+...+bm.[/ltr]Đẳng thức xảy ra khi [ltr]a1b1=a2b2=...=ambm[/ltr]
4.Bất đẳng thức Mincopxki (Mincowski): Với 2 bộ n số [ltr]a1,a2,...,am[/ltr] và [ltr]b1,b2,...,bm[/ltr] thì :
[ltr]a21+b21−−−−−−√+a22+b22−−−−−−√+...+a2m+b2m−−−−−−−√≥(a1+a2+...+am)2+(b1+b2+...+bm)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√[/ltr]
Đẳng thức xảy ra khi :[ltr]a1b1=a2b2=...=ambm[/ltr]
5. Bất đẳng thức Holder: Xin chỉ nêu trường hợp dùng nhiều nhất , ko nêu dạng tổng quát:
Cho [ltr]a,b,c,x,y,z,m,n,p>0[/ltr] thì BĐT sau đúng : [ltr](a3+b3+c3)(x3+y3+z3)(m3+n3+p3)≥(axm+byn+czp)3.[/ltr]
Đẳng thức xảy ra khi : các bộ số tương ứng tỉ lệ với nhau.
6. Bất đẳng thức Schur: Dạng tổng quát:
Cho [ltr]a,b,c≥0[/ltr] và [ltr]t>0[/ltr] ta có : [ltr]at(a−b)(a−c)+bt(b−c)(b−a)+ct(c−a)(c−b)≥0.[/ltr]
Đẳng thức xảy ra khi : [ltr]a=b=c[/ltr] hoặc [ltr]a=0,b=c[/ltr] hoặc các hoán vị.
Các trường hợp thường dùng là TH: [ltr]t=1[/ltr] và [ltr]t=2[/ltr]
[ltr]a(a−b)(a−c)+b(b−c)(b−a)+c(c−a)(c−b)≥0[/ltr] .
Trong trường hợp [ltr]t=1[/ltr] thì ở THCS ta thường có các cách diễn đạt tương đương sau :
[ltr]a3+b3+c3+3abc≥ab(a+b)+bc(b+c)+ac(c+a).[/ltr]
[ltr]4(a+b+c)(ab+bc+ac)≤(a+b+c)3+9abc.[/ltr]
Hệ quả rất thông dụng: [ltr](a+b−c)(b+c−a)(c+a−b)≤abc.[/ltr]
Với [ltr]t=2[/ltr] ta có dạng quen thuộc hơn: [ltr]a4+b4+c4+abc(a+b+c)≥a3(b+c)+b3(a+c)+c3(a+b)[/ltr].
7. Bất đẳng thức Trêbưsep Chebyshev): Với [ltr]a1≥a2≥...≥am[/ltr] và [ltr]b1≥b2≥...≥bm[/ltr] thì:
[ltr]m(a1b1+a2bn+...+ambm)≥(a1+a2+...+am)(b1+b2+...+bm).[/ltr]
Đẳng thức xảy ra khi : [ltr]a1=a2=...=am[/ltr] và [ltr]b1=b2=...=bm.[/ltr]
Nếu [ltr]a1≥a2≥...≥am[/ltr] và [ltr]b1≤b2≤...≤bm[/ltr] thì BĐT trên đổi chiều.
8. Bất đẳng thức Nét bít (Nesbitt): Mình chỉ nêu ra 2TH hay dùng nhất đối với THCS :
BĐT Nesbitt 3 biến : Với [ltr]a,b,c>0[/ltr] thì [ltr]ab+c+bc+a+ca+b≥32.[/ltr]
BĐT Nesbitt 4 biến : với [ltr]a,b,c,d>0[/ltr] thì :[ltr]ab+c+bc+d+cd+a+da+b≥2.[/ltr]
ĐẲng thức xẩy ra khi các biến bằng nhau.
9. Các hằng bất đẳng thức thường dùng:
[ltr]a2+b2+c2≥ab+bc+ac[/ltr] và [ltr](a+b+c)2≥3(ab+bc+ac).[/ltr]
[ltr]1a1+1a2+...+1am≥m2a1+a2+...+am[/ltr] ( với [ltr]ai>0[/ltr])
[ltr]an+bn2≥(a+b2)n[/ltr] (Với [ltr]a+b≥0[/ltr] và [ltr]n∈N∗[/ltr])
[ltr]am+n+bm+n≥am.bn+an.bm.[/ltr]
Còn rất nhiều BĐT nữa nhưng ở mức độ THCS mình chỉ nêu ra như vậy thôi.
P\s: Các anh chị THPT không giải bài của THCS, mà các anh chị sẽ có bài riêng dành cho mình để làm. Mong các bạn hưởng ứng. Cảm ơn.
Hero Math _ Hiếu.
Các bài tập sẽ không khó và mức độ tăng dần theo mỗi bài
Bài 1:(THCS) Cho [ltr]a,b,c>0[/ltr] và [ltr]a+b+c=1[/ltr]. Tìm GTNN của : [ltr]P=aa[size=12]2+8bc+bb2+8ac+cc2+8ab[/ltr][/size]
Bài 2:(THCS) Với [ltr]a,b,c>0[/ltr] . Tìm GTNN của :[ltr]P=aa+2b+3c+bb+2c+3a+cc+2a+3b[/ltr]
Bài 3: (THPT) Cho [ltr]a,b,c≥0[/ltr].CMR: [ltr]b+c2a[size=12]2+bc+a+c2b2+ac+a+b2c2+ab≥6a+b+c[/ltr][/size]
Bài 1:(THCS) Cho [ltr]a,b,c>0[/ltr] và [ltr]a+b+c=1[/ltr]. Tìm GTNN của : [ltr]P=aa[size=12]2+8bc+bb2+8ac+cc2+8ab[/ltr][/size]
Bài 2:(THCS) Với [ltr]a,b,c>0[/ltr] . Tìm GTNN của :[ltr]P=aa+2b+3c+bb+2c+3a+cc+2a+3b[/ltr]
Bài 3: (THPT) Cho [ltr]a,b,c≥0[/ltr].CMR: [ltr]b+c2a[size=12]2+bc+a+c2b2+ac+a+b2c2+ab≥6a+b+c[/ltr][/size]
Ngày tc thích học cái này lắm đó
Thông báo của BQT Forum 2TVN - Khoa học công nghệ
Fanpage
|
|