Diễn đàn Tuổi trẻ Việt Nam | 2TVN Forum
Topic về Bất đẳng thức, cực trị THCS FfWzt02
Diễn đàn Tuổi trẻ Việt Nam | 2TVN Forum
Topic về Bất đẳng thức, cực trị THCS FfWzt02



#1

25.10.14 23:50

Game Thủ VN

Game Thủ VN

Thành viên Năng Nổ
http://www.tuoitrevn.net/f11-forum
Thành viên Năng Nổ
Mình mở ra một topic mới để cùng mọi người trao đôit kinh nghiệm về BĐT. Lần này các bài toán dành cho THCS, 1 phần cũng dành cho các anh chị THPT. Đầu tiên xin nói lại về các BĐT để sử dụng truong topic này .

1. Bất đẳng thức Cô si (AM-GM): Với m số không âm [ltr]a1,a2,...,am[/ltr] ta có:
[ltr]a1+a2+...+amma1a2...am−−−−−−−−−√m[/ltr]. Đẳng thức xảy ra khi [ltr]a1=a2=...=am.[/ltr]


2. Bất đẳng thức Bunhiacopxki (Cauchy - Schwazs): với 2 bộ n số [ltr]a1,a2,...,am[/ltr] và [ltr]b1,b2,...,bm[/ltr] thì :
[ltr](a21+a22+...+a2m)(b21+b22+...+b2m)≥(a1b1+a2b2+...+ambm)2[/ltr]
Đẳng thức xảy ra khi : [ltr]a1b1=a2b2=...=ambm[/ltr]
3. Bất đẳng thức Xvác (Schwars). Với [ltr]a1,a2,...,am[/ltr] bất kì và [ltr]b1,b2,...,bm≥0[/ltr] ta có :
[ltr]a21b1+a22b2+...+a2mbm≥(a1+a2+...+am)2b1+b2+...+bm.[/ltr]Đẳng thức xảy ra khi [ltr]a1b1=a2b2=...=ambm[/ltr]


4.Bất đẳng thức Mincopxki (Mincowski): Với 2 bộ n số [ltr]a1,a2,...,am[/ltr] và [ltr]b1,b2,...,bm[/ltr] thì :
[ltr]a21+b21−−−−−−√+a22+b22−−−−−−√+...+a2m+b2m−−−−−−−√≥(a1+a2+...+am)2+(b1+b2+...+bm)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√[/ltr]
Đẳng thức xảy ra khi :[ltr]a1b1=a2b2=...=ambm[/ltr]


5. Bất đẳng thức Holder: Xin chỉ nêu trường hợp dùng nhiều nhất , ko nêu dạng tổng quát:
Cho [ltr]a,b,c,x,y,z,m,n,p>0[/ltr] thì BĐT sau đúng : [ltr](a3+b3+c3)(x3+y3+z3)(m3+n3+p3)≥(axm+byn+czp)3.[/ltr]
Đẳng thức xảy ra khi : các bộ số tương ứng tỉ lệ với nhau.


6. Bất đẳng thức Schur: Dạng tổng quát:
Cho [ltr]a,b,c≥0[/ltr] và [ltr]t>0[/ltr] ta có : [ltr]at(ab)(ac)+bt(bc)(ba)+ct(ca)(cb)≥0.[/ltr]
Đẳng thức xảy ra khi : [ltr]a=b=c[/ltr] hoặc [ltr]a=0,b=c[/ltr] hoặc các hoán vị.
Các trường hợp thường dùng là TH: [ltr]t=1[/ltr] và [ltr]t=2[/ltr]
[ltr]a(ab)(ac)+b(bc)(ba)+c(ca)(cb)≥0[/ltr] .
Trong trường hợp [ltr]t=1[/ltr] thì ở THCS ta thường có các cách diễn đạt tương đương sau :
[ltr]a3+b3+c3+3abcab(a+b)+bc(b+c)+ac(c+a).[/ltr]
[ltr]4(a+b+c)(ab+bc+ac)≤(a+b+c)3+9abc.[/ltr]
Hệ quả rất thông dụng: [ltr](a+bc)(b+ca)(c+ab)≤abc.[/ltr]
Với [ltr]t=2[/ltr] ta có dạng quen thuộc hơn: [ltr]a4+b4+c4+abc(a+b+c)≥a3(b+c)+b3(a+c)+c3(a+b)[/ltr].


7. Bất đẳng thức TrêbưsepTopic về Bất đẳng thức, cực trị THCS Image002 Chebyshev): Với [ltr]a1≥a2≥...≥am[/ltr] và [ltr]b1≥b2≥...≥bm[/ltr] thì:
[ltr]m(a1b1+a2bn+...+ambm)≥(a1+a2+...+am)(b1+b2+...+bm).[/ltr]
Đẳng thức xảy ra khi : [ltr]a1=a2=...=am[/ltr] và [ltr]b1=b2=...=bm.[/ltr]
Nếu [ltr]a1≥a2≥...≥am[/ltr] và [ltr]b1≤b2≤...≤bm[/ltr] thì BĐT trên đổi chiều.


8. Bất đẳng thức Nét bít (Nesbitt): Mình chỉ nêu ra 2TH hay dùng nhất đối với THCS :
BĐT Nesbitt 3 biến : Với [ltr]a,b,c>0[/ltr] thì [ltr]ab+c+bc+a+ca+b≥32.[/ltr]
BĐT Nesbitt 4 biến : với [ltr]a,b,c,d>0[/ltr] thì :[ltr]ab+c+bc+d+cd+a+da+b≥2.[/ltr]
ĐẲng thức xẩy ra khi các biến bằng nhau.


9. Các hằng bất đẳng thức thường dùng:
[ltr]a2+b2+c2≥ab+bc+ac[/ltr] và [ltr](a+b+c)2≥3(ab+bc+ac).[/ltr]
[ltr]1a1+1a2+...+1amm2a1+a2+...+am[/ltr] ( với [ltr]ai>0[/ltr])
[ltr]an+bn2≥(a+b2)n[/ltr] (Với [ltr]a+b≥0[/ltr] và [ltr]nN∗[/ltr])
[ltr]am+n+bm+nam.bn+an.bm.[/ltr]


Còn rất nhiều BĐT nữa nhưng ở mức độ THCS mình chỉ nêu ra như vậy thôi.
P\s: Các anh chị THPT không giải bài của THCS, mà các anh chị sẽ có bài riêng dành cho mình để làm. Mong các bạn hưởng ứng. Cảm ơn. 
Hero Math _ Hiếu. 
#2

25.10.14 23:51

Game Thủ VN

Game Thủ VN

Thành viên Năng Nổ
http://www.tuoitrevn.net/f11-forum
Thành viên Năng Nổ
Các bài tập sẽ không khó và mức độ tăng dần theo mỗi bài 
Bài 1:(THCS) Cho [ltr]a,b,c>0[/ltr] và [ltr]a+b+c=1[/ltr]. Tìm GTNN của : [ltr]P=aa[size=12]2+8bc+bb2+8ac+cc2+8ab[/ltr][/size]
Bài 2:(THCS) Với [ltr]a,b,c>0[/ltr] . Tìm GTNN của :[ltr]P=aa+2b+3c+bb+2c+3a+cc+2a+3b[/ltr]

Bài 3: (THPT) Cho [ltr]a,b,c≥0[/ltr].CMR: [ltr]b+c2a[size=12]2+bc+a+c2b2+ac+a+b2c2+ab≥6a+b+c[/ltr][/size]
#3

26.10.14 8:43

Thùy Hân

Thùy Hân

Thành viên Lòng Cốt
http://www.tuoitrevn.net/
Thành viên Lòng Cốt
khó nhìn wa;
#4

07.11.14 23:03

Xù Xinh Xắn

Xù Xinh Xắn

Thành viên Ưu Tú
http://www.teenvi.com/profile?mode=editprofile
Thành viên Ưu Tú
Tèn ten
#5

07.11.14 23:03

Xù Xinh Xắn

Xù Xinh Xắn

Thành viên Ưu Tú
http://www.teenvi.com/profile?mode=editprofile
Thành viên Ưu Tú
:)))
#6

08.11.14 7:36

I Love VN

I Love VN

Điều Hành Viên
http://raovat.tuoitrevn.net/f13-forum
Điều Hành Viên
Ngày tc thích học cái này lắm đó


 Thông báo của BQT Forum 2TVN - Khoa học công nghệ
#7

Sponsored content


Bình luận bằng facebook

   

Quyền hạn của bạn

   
Bạn không có quyền trả lời bài viết